Retire as coxas e sobrecoxas de Galinha Fragnani da geladeira e deixe em temperatura ambiente enquanto o forno pré-aquece a 200 ºC (temperatura média). Descarte a parte verde com as folhas da erva-doce e corte o bulbo em 4 fatias, no sentido do comprimento. Lave sob água corrente, com cuidado para não soltar as camadas, e seque com um pano. Com a lateral da lâmina da faca, amasse os dentes de alho e descarte as cascas.
Tempere delicadamente as coxas e sobrecoxas de Galinha Fragnani com sal e pimenta-do-reino a gosto, para não soltar a pele. Leve ao fogo médio uma caçarola baixa, de 28 cm e que possa ir ao forno.
Quando a caçarola estiver bem quente, regue com o azeite e coloque as coxas e sobrecoxas de Galinha Fragnani com a pele voltada para baixo. Deixe dourar, sem mexer, por cerca de 8 minutos. Atenção: só vire as sobrecoxas quando as peles estiverem bem douradas, do contrário podem grudar e rasgar. Vire as coxas e sobrecoxas de Galinha Fragnani com uma pinça e deixe dourar por mais 4 minutos. Transfira para um prato e reserve.
Mantenha a panela em fogo médio e disponha as fatias de erva-doce uma ao lado da outra – nem precisa de azeite, elas vão dourar na gordura da Galinha Fragnani. Tempere com uma pitada de sal e doure por cerca de 2 minutos. Vire com uma pinça e doure o outro lado por mais 1 minuto.
Adicione as tiras da casca de limão, os dentes de alho e 4 ramos de estragão debulhados — assim as folhas ficam em contato com as coxas e sobrecoxas de Galinha Fragnani e passam mais sabor para a carne. Volte as coxas e sobrecoxas de Galinha Fragnani para a panela entre as fatias de erva-doce e cubra com os ramos de estragão restantes.
Regue a panela com o vinho e a água, com cuidado para não molhar a pele das coxas e sobrecoxas de Galinha Fragnani, assim elas ficam mais crocantes. Mantenha a caçarola em fogo médio até ferver.
Desligue o fogo e leve a panela ao forno para assar por cerca de 60 minutos, ou até a carne ficar macia, para que as coxas e sobrecoxas de Galinha Fragnani e a erva-doce terminarem de cozinhar. Caso sua caçarola não possa ir ao forno, faça todo o preparo numa frigideira ou panela grande e transfira os ingredientes para um refratário ou assadeira funda na hora de ir para o forno. Importante: o refratário ou assadeira não pode ser muito grande, pois o molho pode secar. Sirva a seguir com o molho que se formou na panela, acompanhado de arroz e salada.